PROGRAMA DE LOS CURSOS

Introduccion a la funciones zeta de Hasse-Weill

Fernando Rodríguez Villegas

La meta de este cursillo es la de introducir de cero las funciones zeta de Hasse-Weil asociadas a variedades algebraicas sobre cuerpos finitos. En general, las funciones zeta juegan un rol fundamental en la Teoría de Números moderna.

Empezaríamos con la descripción de las diversas maneras en las que un dado polinomio con coeficientes enteros se factoriza módulo números primos. En este contexto (geometricamente, variedades de dimension 0) uno puede formular la reciprocidad cuadrática y entender sus generalizaciones. También es posible introducir de una manera elemental la noción de extensiones abelianas, factorización de ideales primos en extensiones de los racionales y otros conceptos de la teoría algebraica de números.

Pasando a variedades de dimensión 1 y basándose en la discusión anterior, introduciríamos la función L asociada a una curva elíptica. Terminaríamos con una breve discusión de como la propiedad de que esta función L esté asociada a una forma modular (la conjetura de Shimura-Tanyama) es el punto central en la reciente demostración del teorema de Fermat por Andrew Wiles.

Mantendríamos los conocimientos previos necesarios para seguir el curso en un mínimo, usando lo mas posible nociones y argumentos elementales.

Métodos Numéricos por Cadenas de Markov

Xavier Guyon

Este curso tratará sobre métodos estocásticos para la resolución de problemas numéricos: Simulación, optimización estocástica, métodos de Monte Carlo. La herramienta principales la utilización de din'ámicas de adenas de Markov sobre un espacio E finito pero de tamaño grande. También daremos resultados en el caso vectorial $E=\mathbb R^d$ . El enfoque estará en la matemática de esos algoritmos y en sus aplicaciones.

Ergodicidad de una cadena de Markov homogénea, cadenas reversibles.
Simulación: dinámicas secuenciales de Glauber y de Metropolis. Dinámicas sincrónicas.
Coeficiente de contracción de Dobrushin y ergodicidad de una cadena inhomogénea.
Optimización por recocido simulado. Simulación y optimización con restricciones (contraintes).
Aplicaciones: modelo de Markov sobre un grafo, problemas inversos y reconstrucción bayesiana.
Algunos controles sobre la velocidad de ergodicidad.
Aclopamiento (couplage) de cadenas de Markov y simulación exacta.
Simulación de un proceso de Gibbs espacial: sobre un reticulado $S\subseteq \mathbb Z^d$ , de un proceso puntual y de un conjunto aleatorio sobre $\mathbb R^d$ .
Cadenas de Markov, inversión de sistemas lineales y resolución de problemas diferenciales por métodos de Monte Carlo.

Problemas Inversos Lineales y Máxima Entropía

Henryk Gzyl

La ubicuidad de los problemas del tipo: hallar x que satisfaga $Ax \in B(y,r)$ ha generado una línea de actividad dedicada a ellos. Se exige que $x\in K$ , conjunto convexo en un espacio de Banach X. B(y,r) denota una bola de radio r y centro $y\in Y$ , otro espacio de Banach. Además, $A: X\rightarrow Y$ es lineal y continua.

Aunque a veces A pueda ser invertible, en buen número de esas aplicaciones la inversa no resulta ser continua. Es más, en algunos casos ni siquiera ocurre que B(y,r) intersecta a la imagen de A(X) en Y, o peor aun, no estamos 100% seguros del modelo propuesto para A.

Se trata pues de:

i) Dar sentido a tal clase de problemas.

ii) Proveer soluciones genéricas.

iii) Proveer aproximaciones efectivamente calculables a esos problemas.

Durante el curso se revisarán estos temas, especialmente el punto iii), asi como el método de máxima entropía y se comparará esta técnica con las técnicas más comunes (aunque ya el Método de Máximas Entropía se ha vuelto bastante común) en su aplicación a problemas concretos.

Teoría de Representaciones de Algebras y Ecuaciones Diferenciales

José Antonio de la Peña

EL propósito de este curso es mostrar algunas aplicaciones de la teoría de módulos y de la teoría moderna de Representaciones de Algebras en la solición de ecuaciones diferenciales y otros problemas anaíticos relacionados con teoría de control y sistemas dinámicos. La mayor parte de los argumentos que se presentan en el curso son algebraicos.

El curso consta de 4 partes, siendo la primera elemental y las otras tres de nivel medio. El curso es accesible para cualquier estudiante de maestría con conocimientos de álgebra lineal y teoría de módulos.

Parte 1. Ecuaciones de la forma y'(t)+Ay(t)+y₀.

En esta primera parte se consideran algunos problemas clásicos de teoría de matrices y aplicaciones a la solución de problemas elementales de ecuaciones diferenciales y teoría de estabilidad.

1.: La forma canónica de Jordan.
2.: Exponenciales de matrices.
3.: Existencia y unicidad de soluciones.
4.: Problemas de estabilidad. Teoremas de Lyapunov.
5.: Módulos finitamente generados sobre álgebras.

Parte 2. Ecuaciones de la forma Ay'(t)+By(t) = f(t).

En esta parte se estudia un problema clásico de ecuaciones diferenciales de Weierstrass, resuelto finalmente por Kronecker. Desde el punto de vista moderno, la solución requiere la clasificación de los módulos inascindibles sobre cierta álgebra de dimensión finita sobre los números complejos. Para llevar a cabo la clasificación se requiere la introducción de algunos conceptos importantes de teoría de Representaciones.

1.: El problema de similitud simultánea de matrices.
2.: Matrices de Cartan y matrices de Coxeter.
3.: Sucesiones que casi se dividen.
4.: Clasificación de los mdulos inescindibles sobre el álgebra de Kronecker.

Parte 3. Equivalencia simultánea de pares de matrices.

Se estudia el problema abierto de clasificación de pares de matrices hasta equivalencia simultánea. Se consideran otros problemas de clasificación de inescindibles que tienen el mismo comportamiento "salvaje". Se estudian problemas de linealización de ecuaciones diferenciales parciales. Se introducen algunos métodos geométricos.

1.: Equivalencia simultánea de pares de matrices.
2.: Otros problemas salvajes.
3.: Haces vectoriales sobre espacios proyectivos
4.: Linealización de sistemas de ecuaciones de la forma
$\begin{displaymath} \sum_{i+j+k=n} a_{ijk} \frac {\delta+n\phi} {\delta x+i\delta y+j\delta z+k}= c+n\phi .\end{displaymath}$

Parte 4. Algunos problemas de teoría de control.

Se consideran problemas de sistemas dinámicos lineales invariantes en el tiempo y algunos conceptos de teoría de control: alcanzabilidad, observabilidad. Se estudian problemas geométricos de espacios de clasificación de dichos sitemas ( teoremas de Kalman y Hazewinkel) y aplicaciones.

1.: Sistemas dinámicos lineales regidos por ecuaciones de la forma $x+\prime (t) = Bx(t)+Au(t).$
2.: Alcanzabilidad y observabilidad.
3.: Espacios de clasificación de sistemas dinámicos lineales.
4.: Estabilidad de sistemas dinámicos.

Bibliografía

J.A. de la Peña: Algebra Lineal Avanzada. Fondo de cultura Económica (1997).

C.M. Ringel: Integral quadratic forms and tame algebras. Lecture Note in Math. 1099. Springer (1984).

L. Le Bruyn: Simultaneous equivalence of matrices. Seminaire Dubreil- Malliavin. Lecture Notes in Math. 1146. Springer (1984).

C. Procesi: Finite dimensional representation of algebras. Israel J. Math. 19 (1974).

H. Kraft: Geometric methods in Representaiton Theory. Proceedings Puebla (1980). Lecture Notes Math. 944. Springer (1981).

A. Tannenbaum: Invariance and System Theory. Lecture Notes in Math. 845. Springer (1979).

Leonardo Mora 11/20/1998

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